mercredi 26 janvier 2011

46.- Gigante Agujero Negro - El Universo




EL NUMERO DE HARMONICOS

Número armónico

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El número armónico Hn,1 con n=\lfloor{x}\rfloor (gráfica roja) con su límite asintótico γ + logx (gráfica azul).
En matemáticas, se define el n-ésimo número armónico como la suma de los recíprocos de los primeros n números naturales:
H_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}

Éste también es igual a n veces el inverso de la media armónica.
Los números armónicos han sido estudiados desde la antigüedad y son importantes en muchas ramas de la teoría de números. A veces se denomina vagamente serie armónica. Están íntimamente relacionados con la función zeta de Riemann, y aparecen en diversas expresiones de funciones especiales.

Contenido

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[editar] Representación

La primera representación, en forma integral, fue dada por Leonhard Euler:
H_n = \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx.
En esta representación es fácil mostrar que se satisface una relación recursiva mediante la fórmula
\int_0^1 x^n\,dx = \frac{1}{n + 1},
y luego
x^{n} + \frac{1 - x^n}{1 - x} = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x}
dentro de la integral.
Para los números naturales, Hn también se puede representar como:
H_n = \sum_{k=0}^{n-1}\int_0^1 x^k\,dx

Hn crece igual de rápido que el logaritmo natural de n. La razón es que la suma está aproximada por la integral
\int_1^n {1 \over x}\, dx
cuyo valor es log(n). Concretamente, tenemos el siguiente límite:
\lim_{n \to \infty} H_n - \log(n) = \gamma
(donde γ es la constante de Euler-Mascheroni 0.5772156649...).
Y también, como la correspondiente expansión asintótica:
H_n = \gamma + \log{n} + \frac{1}{2}n^{-1} - \frac{1}{12}n^{-2} + \frac{1}{120}n^{-4} + \mathcal{O}(n^{-6})

[editar] Funciones generatrices

Una función generatriz que indexa los números armónicos es
\sum_{n=1}^\infty z^n H_n = \frac {-\log(1-z)}{1-z},
donde log(z) es el logaritmo natural. Otra función generadora exponencial que indexa a los números armónicos es:
\sum_{n=1}^\infty \frac {z^n}{n!} H_n = -e^z \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \frac {(-z)^k}{k!} = e^z \mbox {Ein}(z)
donde Ein(z) es la integral exponencial entera. Nótese que
\mbox {Ein}(z) = \mbox{E}_1(z) + \gamma + \log z = \Gamma (0,z) + \gamma + \log z\,
donde Γ(0,z) es la función gamma incompleta.

[editar] Aplicaciones

Los números armónicos aparecen en varias fórmulas de expresiones del cálculo, como por ejemplo, esta expresión de la función digamma:
\psi(n) = H_{n-1} - \gamma.\,
Esta relación es también utilizada frecuentemente para definir la extensión de los números armónicos a números no enteros n. Los números armónicos también son utilizados frecuentemente para definir γ, usando el límite antes definido en la anterior sección, aunque
\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty}{\left(H_n - \log\left(n+{1 \over 2}\right)\right)}
éste converge más rápidamente.

En 2001 Jeffrey Lagarias provó que la hipótesis de Riemann es equivalente a decir que:
\sigma(n) \le H_n + \log(H_n)e^{H_n},
es cierto para cualquier número entero n ≥ 1 con la desigualdad estricta si n > 1; Aquí σ(n) denota la suma de los divisores de n.

[editar] Generalizaciones

[editar] Números armónicos generalizados

Los Números armónicos generalizados de orden n de m están dados por la expresión:
H_{n,m}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^m}
Nótese que el límite cuando n tiende a infinito existe si m > 1.
Otras notaciones ocasinalmente utilizadas, son:
H_{n,m}= H_n^{(m)} = H_m(n)
El caso especial de m = 1 es simplemente el n-ésimo número armónico y suele escribirse sin el índice superior.
H_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}
En el límite, cuando n\rightarrow \infty, los números armónicos generalizados convergen a la función zeta de Riemann.
\lim_{n\rightarrow \infty} H_{n,m} = \zeta(m)
Al igual que en la suma \sum_{k=1}^n k^m aparecen los números de Bernoulli, en los números armónicos generalizados aparecen los números de Stirling.
Una función generatriz para los números armónicos generalizados es:
\sum_{n=1}^\infty z^n H_{n,m} = \frac {\mbox{Li}_m(z)}{1-z}
donde Lim(z) es el polilogaritmo, and | z | < 1. La función generatriz dada arriba, es un caso especial de esta fórmula cuando m = 1.

[editar] Generalización al plano complejo

De la fórmula integral de Euler para los números armónicos se obtiene la siguiente identidad:
\int_a^1 \frac {1-x^s}{1-x} dx = - \sum_{k=1}^\infty \frac {1}{k} {s \choose k} (a-1)^k
la cual se cumple para un número complejo s general, utilizando una extensión adecuada de los coeficientes binomiales. Escogiendo a = 0, esta fórmula da ambas representaciones (integral y en forma de serie) para una función que genera los números armónicos y extiende la definición al plano complejo. Esta relación integral se obtiene fácilmente por manipulación del binomio de Newton:
\sum_{k=0}^\infty {s \choose k} (-x)^k = (1-x)^s
concretamente, del binomio generalizado de Newton. La función interpolada es justamente la función digamma, así:
\psi(s+1)+\gamma = \int_0^1 \frac {1-x^s}{1-x} dx
donde ψ(x) es la función digamma, y γ es la constante de Euler-Mascheroni. El proceso de integración se puede repetir para obtener
H_{s,2}=-\sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^k}{k} {s \choose k} H_k

[editar] Referencias

[editar] Enlaces externos

  • http://www.EulerArchive.org (en inglés)
  • Euler, Leonhard, De progressionibus harmonicis observationes, E43 (en latín) [1]
  • Ed Sandifer: "How Euler Did It.Gamma the constant" (en inglés) [2]
  • Ed Sandifer, How Euler Did It.Estimating the Basel problem (en inglés) [3]
  • Harmonic number at Mathworld (en inglés)[4]
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_arm%C3%B3nico"
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